La cinematica: descrivere il moto
La cinematica è la parte della meccanica che descrive il moto dei corpi — come cambiano posizione, velocità e accelerazione nel tempo — senza chiedersi quali forze lo producano (di questo si occupa la dinamica).
Per semplificare, il corpo si schematizza come punto materiale: un oggetto di dimensioni trascurabili rispetto al percorso, di cui interessa solo la posizione. La linea che il punto descrive nello spazio è la traiettoria.
Le due relazioni che governano tutta la cinematica del punto sono la definizione di velocità e di accelerazione:
In queste pagine studierai quattro moti fondamentali, dal più semplice (velocità costante) alla traiettoria curva del moto parabolico. Ogni argomento è diviso in quattro parti: Teoria, Simulazione interattiva, Esercizi graduati e Quiz.
Le grandezze del moto
Posizione, spostamento e spazio percorso
La posizione s individua dove si trova il punto sulla traiettoria rispetto all'origine. Lo spostamento Δs = s − s₀ è la variazione di posizione (ha un segno, dipende solo da inizio e fine). Lo spazio percorso è invece la lunghezza effettiva del cammino: coincide con |Δs| solo se il moto non cambia verso.
Velocità
La velocità media misura quanto rapidamente cambia la posizione: v = . La velocità istantanea è la velocità in un preciso istante (quella del tachimetro). La velocità è una grandezza vettoriale: ha intensità, direzione e verso (in una dimensione, un segno + o −).
Accelerazione
L'accelerazione misura quanto rapidamente cambia la velocità: a = . Se a ha lo stesso verso di v il moto accelera; se ha verso opposto, il moto rallenta (decelerazione).
Unità di misura (Sistema Internazionale)
| Grandezza | Simbolo | Unità SI |
|---|---|---|
| tempo | t | secondo (s) |
| posizione / spostamento | s, Δs | metro (m) |
| velocità | v | m/s |
| accelerazione | a | m/s² |
Un percorso storico
Per quasi duemila anni descrivere il moto è stato un problema irrisolto. La svolta arriva con Galileo, che per primo lo studia con misure ed esperimenti invece che con la sola filosofia.
Aristotele (384 – 322 a.C.)
Distingue moto «naturale» e «violento» e sostiene — erroneamente — che i corpi più pesanti cadano più velocemente e che serva una forza per mantenere il moto. Le sue idee, pur sbagliate, dominano il pensiero fino al Rinascimento.
Oresme e la scuola di Oxford (XIV sec.)
I «Calcolatori» del Merton College enunciano il teorema della velocità media: un moto uniformemente accelerato percorre lo stesso spazio di un moto uniforme alla velocità media. Nicola Oresme lo dimostra graficamente, inventando di fatto i diagrammi del moto (la velocità in funzione del tempo): l'area sotto il grafico è lo spazio percorso.
Galileo Galilei (1564 – 1642)
Fonda la cinematica moderna. Con il piano inclinato «diluisce» la caduta per poterla misurare e scopre che, partendo da fermo, lo spazio è proporzionale al quadrato del tempo (s ∝ t²) e cresce come i numeri dispari (1, 3, 5, 7…). Dimostra che, trascurando l'aria, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla massa. Compone poi moto orizzontale uniforme e caduta verticale spiegando la traiettoria parabolica dei proiettili. Pubblica tutto nei Discorsi e dimostrazioni matematiche (1638).
Isaac Newton (1642 – 1727)
Nei Principia (1687) collega la cinematica alle sue cause: le tre leggi della dinamica. Il principio d'inerzia spiega perché un corpo indisturbato prosegue di moto rettilineo uniforme, e la relazione F = ma spiega perché una forza costante produce accelerazione costante. La descrizione del moto diventa parte di una teoria unica.
Argomenti
Moto rettilineo uniforme (MRU)
Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme quando la sua traiettoria è una retta e la sua velocità è costante in intensità e verso. Di conseguenza l'accelerazione è nulla:
«Uniforme» significa che il punto percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali: 5 m ogni secondo, sempre.
Legge oraria
La legge oraria dà la posizione in funzione del tempo. Partendo dalla definizione v = = si ricava:
dove s₀ è la posizione iniziale (all'istante t = 0) e v la velocità (con il suo segno).
I grafici del moto
Il diagramma spazio–tempo (s–t) è una retta: la sua pendenza è la velocità. Più è ripida, più il moto è veloce; se scende, la velocità è negativa.
Il diagramma velocità–tempo (v–t) è una retta orizzontale. L'area compresa tra la retta e l'asse dei tempi è lo spostamento:
Il verso della velocità
In una dimensione il verso è un segno. Con v > 0 il punto avanza verso posizioni crescenti; con v < 0 torna indietro. Nel MRU velocità media e velocità istantanea coincidono sempre.
Regola posizione iniziale e velocità, poi premi Avvia. Osserva come la posizione cresce in modo regolare: il grafico s–t è una retta, il grafico v–t è orizzontale.
Spazio – tempo (s–t)
Velocità – tempo (v–t)
Moto rettilineo uniformemente accelerato (MRUA)
Un punto si muove di moto uniformemente accelerato quando la traiettoria è rettilinea e l'accelerazione è costante. La velocità non è più costante: cambia della stessa quantità in ogni secondo.
Legge della velocità
Dalla definizione a = , con velocità iniziale v₀, si ottiene una relazione lineare nel tempo:
Legge oraria (posizione)
La posizione cresce con un termine quadratico nel tempo:
Poiché in questo moto la velocità varia in modo lineare, la velocità media è la media aritmetica di quella iniziale e finale:
Equazione senza tempo (Torricelli)
Combinando le due leggi ed eliminando t si ottiene una relazione che lega velocità e spazio, utile quando il tempo non è noto:
I grafici del moto
Il diagramma v–t è una retta inclinata: la sua pendenza è l'accelerazione, l'area sotto di essa è lo spostamento. Il diagramma s–t è un arco di parabola, sempre più ripido (moto accelerato) o sempre meno ripido (moto decelerato).
Imposta velocità iniziale e accelerazione. Con segni concordi il moto accelera, con segni discordi rallenta e può invertire il verso. Il grafico v–t è una retta, il grafico s–t una parabola.
Velocità – tempo (v–t)
Spazio – tempo (s–t)
Caduta libera e moto verticale
Vicino alla superficie terrestre, trascurando la resistenza dell'aria, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, diretta verso il basso, detta accelerazione di gravità:
È la grande scoperta di Galileo: l'accelerazione di caduta non dipende dalla massa. Una piuma e un martello, nel vuoto, toccano terra insieme. Il moto verticale è quindi un MRUA con accelerazione g: valgono tutte le formule già viste.
Caduta libera da fermo
Un corpo lasciato cadere (v₀ = 0). Conviene prendere positivo il verso del moto (verso il basso), così a = +g. Dette h l'altezza di caduta e t il tempo:
Da queste si ricavano il tempo di caduta e la velocità con cui arriva a terra:
Lancio verso l'alto
Se il corpo è lanciato verso l'alto con velocità iniziale v₀, conviene prendere positivo il verso verso l'alto: allora l'accelerazione è opposta al verso positivo, a = −g. Le leggi diventano:
Il corpo sale rallentando, si ferma un istante (v = 0) nel punto più alto, poi ricade accelerando. Nel punto più alto:
Scegli il tipo di moto, regola altezza iniziale e velocità di lancio, poi premi Avvia. Il verso positivo è verso l'alto: una velocità negativa indica moto verso il basso.
Altezza – tempo (y–t)
Velocità – tempo (v–t)
Moto parabolico
Il moto parabolico è il moto di un corpo lanciato nello spazio e soggetto alla sola gravità (un proiettile). Galileo lo spiega con il principio di composizione dei moti: la traiettoria curva nasce dalla combinazione di due moti indipendenti.
I due moti non si disturbano: il tempo è l'unica grandezza che condividono. Scegliamo l'origine nel punto di lancio, l'asse x orizzontale e l'asse y verticale verso l'alto.
Lancio orizzontale (da un'altezza h)
Velocità iniziale solo orizzontale (v₀ₓ = v₀, v₀ᵧ = 0). Le due leggi orarie sono:
Il corpo tocca terra quando y = 0, nello stesso tempo di un corpo lasciato semplicemente cadere dalla stessa altezza:
Lancio obliquo (dal suolo, angolo θ)
La velocità iniziale si scompone nelle due direzioni:
La componente orizzontale resta costante; quella verticale segue il lancio verso l'alto. Si ricavano tempo di volo, altezza massima e gittata:
Cambia velocità e angolo di lancio e osserva la parabola. I vettori mostrano la scomposizione della velocità: vx (verde) resta costante, vy (rosso) diminuisce, si annulla in cima e cambia verso.
Posizioni x, y – tempo
Velocità vₓ, vᵧ – tempo
Quiz riepilogativo
Un'unica batteria di domande su tutti gli argomenti — MRU, MRUA, caduta libera e moto parabolico — per verificare la comprensione complessiva. Qui le correzioni compaiono solo alla fine: rispondi a tutte le domande, poi ottieni punteggio e revisione completa con le spiegazioni.